Метка: очко

В нашем трёхмерном мире нет по-настоящему ни двумерных, ни четырёхмерных вещей, ничто не абсолютно плоско, даже самое тщательно отполированное зеркало. С ранних лет человек рисует на таких «ПЛОСКОСТЯХ»,
но разве это не абсурдно — нарисовать на бумаге несколько линий и сказать : «Это ДОМ»?» — Мауриц Эсхер.
Это действительно так, но всё же, если считать фотографию, лист бумаги, поверхность зеркала– двухмерными объектами, а тонкую проволоку, линию на бумаге – одномерными, то с равными на то правами существуют и четырёхмерные объекты – простейшие из которых – гиперкуб ( четырёхмерный куб ) и гиперсфера( четырёхмерная сфера ).
Разведку боем! Сначала познакомимся с обитателями четвертого измерения.
Четырехмерный куб.
Чтобы представить себе четырехмерный куб, полезно сначала посмотреть на обычный — трехмерный — куб, а также на «двумерный куб» (квадрат) и «одномерный куб» (отрезок)
Смотрим на превращение одного в другое :
Если точку «протащить» по бумаге, то получится линия. Линия, в свою очередь, «заметает» плоскость — получается квадрат. Вытянем квадрат из плоскости — сделаем куб. Это уже третье измерение.
Но что же такое надо сделать с кубом, чтобы обратить его в четырехмерное тело? И как его себе представить?
А что мы делаем, чтобы изобразить на плоском листе бумаги трехмерный куб? Мы проецируем его на плоскость. Получаются два квадрата один в другом, соединенные вершинами. Так спроецируем же и четырехмерный куб! Мы получим по аналогии два куба, один в другом, и снова вершины попарно соединены.

Вот он, посланец четвертого измерения, вернее, не сам он, а его проекция на плоскость.
Конечно, полученный чертеж четырехмерного куба условен, он дает его искаженное изображение. Но ведь и предыдущий рисунок трёхмерного куба дает искаженное изображение обычного куба на плоскости.
На самом деле оба чертежа имеют одинаковую природу: они показывают образы трехмерного и четырехмерного кубов при параллельной проекции на плоскость.
Разница лишь в том, что нам удается «Приподнять в пространство» плоское изображение трехмерного куба усилием мысли, а такой способностью представить себе «четырех-мерье» мы уже не обладаем.
Ну, а если не удалось хорошо увидеть четырехмерный куб в движении — попробуем развернуть его.
Как его развернуть ?
Чтобы представить себе развертку четырехмерного куба, сначала посмотрим на развертку трехмерного и двумерного кубов.
Мы видим, что развертка квадрата одномерна и состоит из четырех отрезков; развертка куба двумерна и состоит из шести квадратов.
Аналогично, развертка четырехмерного куба трехмерна и состоит из восьми трехмерных кубов.
Так же как трехмерный куб можно склеить из развертки, отождествляя вершины : G1 G2 и G3, а так жеН1,H2 и H3 (и соответствующие ребра), четырехмерный куб можно получить из его развертки, «склеивая» вершины, обозначенные одинаковыми буквами, но с разными номерами, например M1,M2,M3,M4 или I1,I2; при этом склеиваются не только вершины (и соответствующие ребра), но и двумерные грани, например М3O3P3Q3 и М4O4P4Q4. Разумеется сложить его можно только в четырёхмерном пространстве
Существует еще один популярный способ изображения четырехмерного куба, представленный на рисунке.
Восемь трехмерных граней изображены здесь внутренним (малым) кубом, внешним (большим) кубом и шестью усеченными пирамидами, соединяющими соответственные грани малого и большого кубов. Этот рисунок получается при центральном проектировании четырехмерного куба на некоторую «трехмерную плоскость».
Смысл этого рисунка легче понять, если рассмотреть также рисунок (а), на котором изображена центральная проекция трехмерного куба на плоскость из некоторой точки.
По рисунку удобнее всего сосчитать количество разного рода составляющих элементов четырехмерного куба.
А именно, он имеет :16 вершин, 32 ребра, 24 двумерных грани (в виде квадратов) и 8 «трехмерных граней» (в виде кубов).
Попробуем познакомиться с другим представителем четырехмерного мира –гиперсферой.
Сфера нулевого измерения — это и есть точка.
Нить, проволока и любая иная линия — это уже одномерные предметы:
у них есть длина.
Сфера в пространстве одного измерения — это две точки на прямой:
центр этой одномерной сферы лежит посередине между ними.
Представители двумерного мира имеют длину и ширину — это ленты, куски ткани, листы бумаги.
Окружность, граница двумерного круга — вот что такое сфера в пространстве двух измерений.
И наконец, кубы, пирамиды, дома, и мы с вами, входят в неисчислимую армию «трехмерцев», обладающих вдобавок к длине и ширине еще и высотой. У них есть объем.
Сфера в трехмерном пространстве — это шар, «обычная» сфера.
Но вот что любопытно: Проволоку можно сломать, лист бумаги разрезать, а куб распилить. И при этом получается, что одномерная поверхность, линия, разделяется поверхностью нулевого измерения — точкой. Двумерная плоскость делится надвое одномерной линией, а трехмерный куб — двумерной плоскостью. Иными словами, границей «разлома» тела служит какое-то другое тело, измерение которого на единицу ниже.
Что же тогда служит границей четырехмерной сферы?
Рассуждая по аналогии, мы можем отдаленно представить себе четырехмерную сферу.
Если спроецировать глобус на плоскость, то проекции двух его половин наложатся одна на другую, и Нью-Йорк окажется где-то в центре Сибири. Проецируя глобус, мы пропускаем одну его полусферу сквозь другую и соединяем их проекции, круги, только по границе окружности (как квадраты по вершинам). Проекция гиперсферы — два шара, прошедшие один через другой и соединенные только по внешним поверхностям.
Конечно, вообразить все это нелегко, но ничего мистического тут нет.
Итак, знакомство состоялось.
Так и хочется задать «четырехмерцам» традиционный вопрос: «Ну как там?»
Но гиперкуб молчит всеми своими восьмьюдесятью элементами, и нам остается лишь еще раз прибегнуть к испытанному приему — разбежаться перед прыжком: раз надо исследовать свойства четвертого из